お手当をいただいた際、お札だけで渡された場合、どのようにしまうのが失礼がなく正しいのでしょうか。

そういう感性は人それぞれ異なりますから、万人に通用する理想的というものは無いと思います。
相手の男性の考えというか好みを知って、そうするのが理想的でしょう。
ですから最も理想から遠いのは、こうして自分の交際相手のことを無視して赤の他人の好みを参考にすることだと思います。

渡す側の男性を見てみても、手当を封筒に入れずにそのまま渡す男性も居れば、封筒に入れて渡す男性も居ますし、封筒にしても茶封筒にするのかなど人それぞれ考えがあります。

個人的には、女性が札をどのようにしまうのかに興味ありませんし、それを見るのは卑しいことだと感じるので見ないようにしています。
他人の財布や鞄の中に視線を向けることだって嫌らしいでしょう。
僕自身は札を裸でポケットやカバンに入れるということを極力避けています。

お札をそのまま渡す行為に対して正しいもなにもないでしょう。
素早くしまえば何でもよいと思います。

追記
仲の良い友達どうしの感じでよいんじゃない？
いまどきはキャッシュレスだったり？

裸で渡しています。

その先、女性がどういう風にしまうか気にとめていないので、あまり分かりません。

そのまま手に受け止めたままも出来るし、カバンにしまったりも出来るし、すぐ財布にしまってるような気配はあまりなかったような気もします。そのままお別れしてから、財布にしまっていたのかもしれません。

私がお会いした女性で財布に直接しまう人はいませんでした。
たたんでバッグにしまっている人が多かったです。

私は別にどちらでも構わないと思っています。